L’esprit humain additionne plus facilement qu’il multiplie.
Il ne faut que quelques secondes pour calculer 13 + 17 = 30
Par contre, calculer mentalement leur produit 13 * 17 = 221 nécessite plus de temps et d’effort intellectuel.
Les logarithmes simplifient les multiplications, en additionnant les exposants des opérateurs.
Voici un exemple très simple: 100 * 1 000 = 100 000
Calculer le produit revient à additionner le nombre de zéros des deux opérateurs: 2 + 3 = 5
C’est à dire l’exposant auquel il faut élever 10.
John Napier les a inventés au 17°siècle, afin de faciliter les calculs.
Ils étaient indispensables, jusqu’à l’invention de la calculatrice, vers 1970.
Le panneau de contrôle permet de choisir la base:
Les opérateurs sont encodés dans des champs numériques.
Les exposants sont affichés à trois décimales près.
Le graphe supérieur aligne chaque nombre en relation avec son exposant, dans la base choisie, sur deux échelles horizontales parallèles alignées sur leurs origines respectives.
🖱 La molette de la souris permet de modifier le nombre d’échelons, entre 5 et 30.
Il suffit de placer la souris sur les échelles, et de rouler la molette, afin de modifier l’ordre de grandeur des nombres à manipuler.
Sur une échelle logarithmique, peuvent co-exister des valeurs de différents ordres de grandeur.
Telles que la taille d’une 🦠 bactérie, d’une 🍒cerise, d’un 🕺 être humain, d’une 🌄 montagne, d’une 🪐 planète, du système 🌞 solaire, et d’une 🌌 galaxie.
Le graphique met en relation chaque opérateur, et leur produit, avec leurs exposants (leurs logarithmes), sur une courbe logarithmique
Il change d’ordre de grandeur, selon le logarithme du produit.
Dans la marge, le second menu de navigation permet d’activer certaines courbes optionelles.
Celles-ci ne sont discernables que pour de faibles ordres de grandeur.
Au-delà, l’écrasement horizontal les aplatit verticalement.
Vous les verrez en encodant de petites valeurs (<5), pour le multiplicande et le multiplicateur.
C’est la réciproque de la logarithmique.
Elle lui est donc symétrique, selon un axe oblique à 45°, représenté par un pointillé, tenant compte de l’écrasement horizontal.
L’exponentielle inverse, tout simplement, les axes X et Y de la logarithmique rouge.
Dans cette courbe, l’axe vertical Y vaut 1 / X.
Il s’agit de la pente de la courbe logarithmique rouge.
Chez les logarithmes naturels (=en base E), la dérivée correspond à l’inverse.
Ces deux courbes se superposent exactement. Leurs pointillés s’encastrent, pour former une ligne bicolore continue.
La seconde glissière permet d’ajuster la base, entre 2 et 3, en passant par E.
Afin de faire coïncider l’inverse et la dérivée.
Pour revenir exactement à E, survolez la case contenant son bouton radio.
La glissière revient spontanément à E lorsque la souris quitte la case.
Voilà qui permet de donner un effet visuel à E, une constante mathématique qui, spontanément, n’en a pas, contrairement à Pi
Lorsque la base est entière, et différente de 10, le graphe supérieur affiche chaque opérateur, et leur produit, dans la base en question.
Juste au-dessus de leur expression en base dix, à laquelle nous sommes habitués.
Une base dispose d’autant de chiffres.
Ainsi:
Pour les bases supérieures à dix, on complète avec les premières lettres de l’alphabet, qui sont à considérer comme des chiffres, et non des lettres.
Remarquez aussi que, quelle que soit la base:
Par exemple,
8 en base 2 s’écrit 1 000
3 en base 3 s’écrit 10
9 en base 3 s’écrit 100
16 en base 4 s’écrit aussi 100
25 en base 5 s’écrit aussi 100
27 en base 3 s’écrit 1 000, pour 3 au cube, exactement comme 10 au cube en base 10
81 en base 3 s’écrit 10 000, pour 3 puissance 4, comme 10 puissance 4 en base 10
Pour toutes les bases entières, le nombre de zéros après le 1 exprime la puissance à laquelle on élève la base.
Pour les multiplier, il suffit d’additionner le nombre de zéros.
Pour calculer 9 * 27 = 243 en base 3, on fait 100 * 1 000 = 100 000
Comme en base 10, car 100 000 en base 3 vaut 243 en base 10